送信先のFileMaker Server上に出力されるログファイル「fmdapi.log」にエラーコード「212」や「ERROR」という文字列が出力されていて、その行にあるデータベース名に特に間違いがない状況ということでしたら、FMPressデータソースの編集画面で指定するアカウントとパスワードが、FileMakerデータベースに設定されているFileMaker Data API用のアカウント名とパスワードのいずれかに一致していないことがまず考えられます。
データソースの編集画面において、アカウント名を入力、およびパスワードを再セットし直していただいた後、そのまま［接続テスト］ボタンを押す前に、一度［更新］ボタンを押してデータソースの設定内容を更新してから改めて接続テストを行ってみていただくと何か挙動に変化はあるでしょうか。